Deux pentes successives ne se combinent pas en faisant simplement la moyenne de leurs pourcentages, sauf si leurs distances horizontales sont identiques. La méthode consiste à calculer le dénivelé de chaque tronçon, à additionner les montées et descentes avec leur signe, puis à rapporter ce dénivelé total à la distance horizontale totale. Le résultat s’exprime en pourcentage.
La relation de base est la suivante : pente moyenne = dénivelé total / distance horizontale totale × 100. Une pente positive correspond à une montée, une pente négative à une descente et une pente nulle à un tronçon horizontal.
En bref
Pour deux pentes successives, convertissez chaque pourcentage en dénivelé : dénivelé = distance horizontale × pente / 100. Additionnez les dénivelés avec leur signe, additionnez les distances horizontales, puis calculez dénivelé total / distance totale × 100. Il s’agit d’une moyenne pondérée par les distances, pas de la moyenne simple des pourcentages.
- Utiliser uniquement les distances horizontales, pas les longueurs mesurées sur la pente.
- Conserver le signe du dénivelé : montée positive, descente négative.
- Pondérer chaque pente par sa distance horizontale.
- Arrondir le résultat final, plutôt que chaque étape intermédiaire.
La formule adaptée à deux tronçons
Pour chaque tronçon, le dénivelé se déduit de la pente et de la distance horizontale. Si une pente est donnée en pourcentage, sa valeur décimale est obtenue en la divisant par 100. Le dénivelé du tronçon vaut alors distance horizontale × pente décimale.
La pente moyenne sur l’ensemble du parcours s’écrit : (dénivelé 1 + dénivelé 2) / (distance horizontale 1 + distance horizontale 2) × 100. Cette écriture applique le rapport entre variation verticale et déplacement horizontal. La page Pente et dénivelé utilise la même définition de base.
Cette méthode est cohérente avec la notion de taux : un rapport compare deux grandeurs en conservant leurs unités. OpenStax présente la relation entre quantité mesurée et unité de référence sous cette forme de quotient. (openstax.org)
- Pente en pourcentage : dénivelé / distance horizontale × 100.
- Dénivelé d’un tronçon : distance horizontale × pente / 100.
- Pente moyenne : dénivelé total / distance horizontale totale × 100.
Pourquoi la moyenne simple peut être fausse
La moyenne arithmétique des deux pourcentages donne le même poids à chaque tronçon. Elle n’est valable que lorsque les deux distances horizontales sont égales, ou lorsque les tronçons doivent effectivement avoir le même poids dans le calcul.
Si les distances diffèrent, la pente correspondant au tronçon le plus long doit influencer davantage le résultat. Il s’agit donc d’une moyenne pondérée par les distances horizontales. La Règle de trois peut aider à retrouver un dénivelé lorsqu’une pente ou une distance manque, à condition que la relation utilisée soit proportionnelle.
La formule des proportions repose sur l’égalité de deux rapports. OpenStax recommande de conserver les grandeurs correspondantes dans le même ordre avant de résoudre une proportion. (openstax.org)
- Distances égales : la moyenne simple peut convenir.
- Distances différentes : calculer les dénivelés séparément.
- Le tronçon le plus long pèse davantage dans la moyenne finale.
Hypothèses sur les unités et les signes
Les distances horizontales doivent être exprimées dans la même unité, par exemple toutes en mètres. Les pourcentages, eux, doivent être interprétés de la même manière pour chaque tronçon. Une conversion préalable est nécessaire si les distances sont mélangées, par exemple mètres et kilomètres.
Une montée est représentée par un dénivelé positif. Une descente est représentée par un dénivelé négatif. Cette convention permet de calculer le dénivelé net entre le début et la fin du parcours. Si l’objectif est plutôt de connaître la quantité totale de montée, il ne faut pas soustraire les descentes : il faut additionner séparément les dénivelés positifs.
Les unités doivent rester cohérentes dans chaque rapport. OpenStax rappelle qu’un rapport entre mesures doit être formé après conversion dans une même unité. (openstax.org)
- Convertir les longueurs avant de calculer.
- Utiliser une pente négative pour une descente.
- Distinguer dénivelé net et dénivelé positif cumulé.
Limites du calcul
Le calcul décrit une pente moyenne entre le point de départ et le point d’arrivée, selon la distance horizontale totale. Il ne décrit pas les variations locales à l’intérieur des deux tronçons ni la pente maximale rencontrée.
La distance horizontale n’est pas la longueur parcourue sur la pente. Pour une pente faible, les deux valeurs peuvent être proches, mais elles ne sont pas interchangeables dans la formule. Utiliser la longueur inclinée modifierait le rapport calculé.
Le résultat dépend aussi de la définition des tronçons. Une pente annoncée comme constante doit être représentée par une distance et un pourcentage correspondant à la même portion horizontale. Les arrondis intermédiaires peuvent produire un écart, surtout lorsque les distances ou les pentes comportent plusieurs décimales.
- Le résultat est une moyenne globale, pas une pente uniforme réelle.
- La longueur inclinée ne remplace pas la distance horizontale.
- Conserver les décimales jusqu’au calcul final.
Exemples de calcul vérifiés
Deux montées de longueurs différentes
Le premier tronçon mesure 30 m horizontalement à 8 %, soit 0,08 × 30 = 2,4 m de montée. Le second mesure 70 m à 3 %, soit 0,03 × 70 = 2,1 m. Le dénivelé total est donc de 4,5 m sur 100 m horizontaux, ce qui donne une pente moyenne de 4,5 %.
((0.08 × 30)+(0.03 × 70)) ÷ (30+70) × 100 = 4,5
Une montée suivie d’une descente
Sur 40 m horizontaux à 6 %, le dénivelé est de 2,4 m. Sur 60 m à -2 %, il est de -1,2 m. Le dénivelé net atteint 1,2 m pour 100 m horizontaux : la pente moyenne entre les deux extrémités est donc de 1,2 %. La descente réduit le dénivelé net.
((0.06 × 40)+(-0.02 × 60)) ÷ (40+60) × 100 = 1,2
Choisir le bon calcul selon les données disponibles
| Situation | Calcul à effectuer | Résultat obtenu |
|---|---|---|
| Une pente et une distance horizontale sont connues | distance × pente / 100 | Dénivelé du tronçon |
| Deux pentes et deux distances horizontales sont connues | (dénivelé 1 + dénivelé 2) / (distance 1 + distance 2) × 100 | Pente moyenne globale |
| Les distances horizontales sont égales | (pente 1 + pente 2) / 2 | Moyenne simple des pentes |
| Une montée et une descente se succèdent | Additionner les dénivelés avec leurs signes | Dénivelé net puis pente moyenne |
Les résultats supposent que chaque pourcentage décrit une pente constante rapportée à la distance horizontale de son tronçon. Les calculs ne donnent ni la pente maximale ni le dénivelé positif cumulé lorsque des descentes sont présentes.
Questions fréquentes
Que faire si les deux tronçons ont la même distance horizontale ?
La pente moyenne est alors la moyenne arithmétique des deux pentes, car chaque tronçon possède le même poids. Par exemple, deux tronçons de 50 m à 4 % et 2 % donnent une pente moyenne de 3 %. Cette simplification ne doit pas être utilisée lorsque les distances diffèrent.
Comment calculer la pente moyenne si le parcours revient à sa hauteur de départ ?
Le dénivelé net est nul : la pente moyenne sur la distance horizontale totale est donc de 0 %. Cela ne signifie pas que le parcours est plat, mais seulement que les montées et descentes se compensent entre les deux extrémités.
Sources et références
- 5.6 Ratios and Rate — OpenStax, Rice University
- 6.5 Solve Proportions and their Applications — OpenStax, Rice University
- 7.5 Systems of Measurement — OpenStax, Rice University