Deux remises successives ne s’additionnent pas directement, car la deuxième s’applique à un prix déjà diminué. Pour les calculer, transformez chaque taux en coefficient multiplicateur, puis multipliez ces coefficients. Une remise de 20 % suivie de 10 % équivaut ainsi à une baisse globale de 28 %, et non de 30 %.
La calculette de remises successives applique automatiquement cette méthode à partir du prix initial et des deux taux.
En bref
Pour deux remises successives de a % et b %, multipliez le prix initial par (1 − a/100) puis par (1 − b/100). La remise équivalente vaut [1 − (1 − a/100)(1 − b/100)] × 100. Les taux ne s’additionnent donc pas, car le second est calculé sur une base déjà réduite.
- Une remise de a % conserve 1 − a/100 du prix.
- Les remises successives se calculent par multiplication des coefficients.
- La remise équivalente est généralement inférieure à la somme des deux taux positifs.
- L’ordre des deux remises ne change pas le résultat si les taux s’appliquent au même prix intermédiaire.
- Les arrondis commerciaux peuvent créer un écart de quelques centimes.
Le bon modèle : multiplier des coefficients
Une remise de a % signifie que la réduction représente a/100 du prix concerné. Le montant restant correspond donc à 1 − a/100 du prix. Cette conversion d’un pourcentage en nombre décimal est la première étape du calcul ; un pourcentage est une proportion rapportée à 100. (openstax.org)
Pour deux remises successives, le prix final se note : prix initial × (1 − a/100) × (1 − b/100). Le premier coefficient produit le prix après la première réduction. Le second coefficient est ensuite appliqué à ce nouveau prix, et non au prix initial.
La calculette de pourcentage peut servir à vérifier séparément la part correspondant à chaque taux. Elle conserve toutefois l’unité de la valeur de départ : des euros restent des euros, tandis que les coefficients n’ont pas d’unité.
- Prix après la première remise : prix initial × (1 − a/100).
- Prix final : prix après la première remise × (1 − b/100).
- Les parenthèses sont indispensables pour appliquer chaque taux à la bonne base.
Pourquoi l’addition des pourcentages est trompeuse
Additionner deux taux suppose implicitement qu’ils portent sur la même base. Or, dans une succession de remises, la première réduction modifie cette base avant le calcul de la seconde. La deuxième remise porte donc sur une valeur plus faible, ce qui réduit son montant en euros.
La différence peut se comprendre en développant la formule : (1 − a/100)(1 − b/100) contient un terme supplémentaire correspondant au produit des deux taux. La remise globale peut alors s’écrire a + b − ab/100, lorsque a et b sont exprimés en pourcentage. Le terme soustrait explique pourquoi la somme directe surestime la baisse totale pour deux remises positives.
Cette logique rejoint la définition proportionnelle du pourcentage : le taux ne représente pas une quantité indépendante, mais une fraction de la valeur à laquelle il est appliqué. (openstax.org)
- La somme a + b donne seulement une approximation ou un repère, pas le résultat exact.
- Le produit ab/100 mesure la correction à retrancher à cette somme.
- Deux remises positives appliquées successivement donnent une baisse globale inférieure à leur addition.
Calculer la remise équivalente
La remise équivalente est le taux unique qui produirait le même prix final que les deux remises successives. Après multiplication des coefficients conservés, il suffit de calculer la part qui a disparu : 1 − (1 − a/100)(1 − b/100). Pour l’exprimer en pourcentage, multipliez ensuite par 100.
Cette méthode sépare clairement deux notions : le coefficient conservé et la remise retirée. Elle évite de confondre le prix final avec le montant de la réduction. La calculette de variation en pourcentage peut aussi vérifier l’écart relatif entre le prix initial et le prix final, à condition de prendre le prix initial comme valeur de référence.
Pour retrouver un prix avant remise, le raisonnement s’inverse : il faut diviser par les coefficients successifs, et non soustraire les taux. Cette opération n’est possible que si les coefficients ne sont pas nuls ; une remise de 100 % annule la valeur restante et empêche toute reconstitution par division.
- Remise équivalente : [1 − (1 − a/100)(1 − b/100)] × 100.
- Variation relative : (prix final − prix initial) / prix initial × 100.
- Une baisse exprimée comme variation en pourcentage porte un signe négatif, tandis qu’une remise est généralement présentée comme un taux positif.
Hypothèses, arrondis et limites
Le modèle suppose que chaque remise s’applique intégralement au prix obtenu à l’étape précédente, sans frais annexes, montant fixe, seuil, plafond ni condition particulière. Il suppose aussi que les taux sont exprimés en pourcentage et que le prix initial est connu dans la même unité monétaire que le résultat.
Dans une présentation théorique, conservez plusieurs décimales jusqu’au résultat final. Dans une facture ou un affichage commercial, un arrondi peut intervenir après chaque étape ou seulement à la fin. Ces deux conventions peuvent produire des résultats légèrement différents, notamment lorsque le prix est exprimé en centimes.
Le calcul ne détermine pas automatiquement la base juridique ou commerciale de la remise. Il ne traite pas non plus les frais de livraison, taxes, avoirs, coupons à montant fixe ou règles propres à une offre. Pour ces situations, il faut d’abord isoler la partie réellement soumise aux pourcentages.
- Ne mélangez pas une remise en pourcentage avec une réduction fixe dans la même formule sans distinguer les étapes.
- Vérifiez à quelle étape l’arrondi monétaire est appliqué.
- N’utilisez pas la formule si la seconde remise porte sur une autre base que le prix déjà réduit.
Exemples de calcul vérifiés
Prix final après deux remises
Pour un prix initial de 100 €, la première remise de 20 % conserve 80 %, puis la seconde de 10 % conserve 90 % du prix déjà réduit. Le prix final est donc de 72,00 €. La baisse totale est de 28,00 €.
100 × (1-20 ÷ 100) × (1-10 ÷ 100) = 72
Remise équivalente pour deux taux
Une remise de 15 % suivie d’une remise de 8 % conserve successivement 85 % puis 92 % de la valeur précédente. La remise unique équivalente est de 21,8 %, et non de 23 %.
(1-(1-15 ÷ 100) × (1-8 ÷ 100)) × 100 = 21,8
Comparer addition directe et calcul successif
| Situation | Calcul de la remise équivalente | Résultat |
|---|---|---|
| 20 % puis 10 % | [1 − (1 − 20/100)(1 − 10/100)] × 100 | 28 % |
| a % puis b % | [1 − (1 − a/100)(1 − b/100)] × 100 | a + b − ab/100 |
| Addition simple des taux | a + b | Taux généralement surestimé si a et b sont positifs |
Les calculs supposent des remises en pourcentage appliquées successivement au prix restant, sans frais annexes ni arrondi intermédiaire imposé.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si l’une des deux remises vaut 0 % ?
Le coefficient correspondant vaut 1 : cette étape ne modifie pas le prix. La remise équivalente est alors simplement égale à l’autre remise. Cela permet de vérifier que la formule respecte le cas d’une remise absente.
Les deux remises donnent-elles le même résultat si on inverse leur ordre ?
Oui, avec le modèle multiplicatif et les mêmes bases successives, car la multiplication est commutative. En revanche, un arrondi après chaque étape, un seuil ou une condition différente peut rendre l’ordre important dans une situation réelle.
Comment traiter une remise en pourcentage suivie d’une réduction fixe ?
Appliquez d’abord le coefficient de la remise en pourcentage, puis soustrayez le montant fixe si cette réduction intervient ensuite. Il ne faut pas additionner un taux et un montant, car ils ne représentent pas la même unité.
Sources et références
- 6.1 Understand Percent — OpenStax, Rice University
- 5.6 Ratios and Rate — OpenStax, Rice University
- 6.5 Solve Proportions and their Applications — OpenStax, Rice University