Non. Une baisse de 20 % est calculée sur la valeur initiale, tandis que la hausse de 20 % s’applique ensuite sur une valeur déjà réduite. Les deux pourcentages ne portent donc pas sur la même base : leur enchaînement laisse une diminution de 4 % par rapport au départ.
Pour retrouver exactement la valeur initiale après une baisse de 20 %, il faut appliquer une hausse de 25 %. La bonne méthode consiste à transformer chaque taux en coefficient multiplicateur, puis à comparer la valeur finale à la valeur de départ.
En bref
Une baisse de 20 % suivie d’une hausse de 20 % ne s’annule pas : le coefficient global vaut 0,8 × 1,2 = 0,96, soit une valeur finale égale à 96 % de la valeur initiale. La perte restante est donc de 4 %. Pour compenser exactement une baisse de 20 %, la hausse nécessaire est de 25 %, car 0,8 × 1,25 = 1.
- Une baisse de 20 % correspond au coefficient 0,80.
- Une hausse de 20 % correspond au coefficient 1,20.
- L’enchaînement donne 0,96 : il reste 4 % de baisse.
- Le taux de hausse nécessaire pour revenir au départ est de 25 %.
Pourquoi les deux taux ne s’annulent pas
Un pourcentage décrit une proportion de la valeur sur laquelle il est appliqué. Une baisse de 20 % revient à conserver 80 % de la valeur précédente. Une hausse de 20 % ajoute ensuite 20 % de la nouvelle valeur, et non 20 % de la valeur de départ.
Cette différence de base explique l’erreur fréquente consistant à additionner simplement -20 % et +20 %. Pour interpréter correctement un pourcentage, il faut le lire comme un rapport sur 100, puis le convertir en nombre décimal ou en coefficient multiplicateur. (openstax.org)
- Une baisse de t % multiplie la valeur par 1 – t/100.
- Une hausse de t % multiplie la valeur par 1 + t/100.
- Des variations successives se multiplient ; elles ne s’additionnent pas.
La méthode des coefficients multiplicateurs
Pour calculer une variation successive, partez de la valeur initiale et appliquez chaque coefficient dans l’ordre. Le coefficient d’une baisse est inférieur à 1 ; celui d’une hausse est supérieur à 1. Le produit des coefficients donne directement le coefficient global.
La variation globale se déduit ensuite avec la formule (valeur finale – valeur initiale) / valeur initiale × 100. Cette méthode correspond à la définition usuelle de la variation en pourcentage ; vous pouvez la vérifier avec la calculette de variation en pourcentage. (openstax.org)
- Convertissez chaque taux en coefficient.
- Multipliez les coefficients dans l’ordre des opérations.
- Interprétez le produit obtenu comme une part de la valeur initiale.
- Transformez cette part en variation en pourcentage si nécessaire.
Calculer le taux nécessaire pour revenir au départ
Après une baisse de t %, la valeur restante représente 1 – t/100 de la valeur initiale. Pour retrouver cette valeur initiale, le coefficient de hausse recherché doit être l’inverse du coefficient de baisse.
Le taux de rattrapage se calcule donc en comparant la valeur initiale à la valeur réduite, puis en exprimant l’écart par rapport à cette valeur réduite. Une baisse importante exige ainsi une hausse proportionnellement plus forte, car la hausse porte sur une base plus petite. Cette logique relève d’une proportion entre la valeur de départ, la valeur restante et la valeur à retrouver. (openstax.org)
- Coefficient de baisse : 1 – t/100.
- Coefficient de hausse recherché : 1 / (1 – t/100).
- Taux de rattrapage : [1 / (1 – t/100) – 1] × 100.
- La formule suppose que la valeur initiale est strictement positive.
Hypothèses, arrondis et limites du calcul
Le raisonnement suppose que les variations s’appliquent successivement à la même grandeur et qu’aucun frais, prélèvement, arrondi intermédiaire ou changement d’unité ne s’ajoute entre les étapes. Si une valeur monétaire est arrondie après chaque opération, le résultat peut différer de quelques centimes.
Il faut aussi distinguer une variation en pourcentage d’une différence exprimée en points de pourcentage. Pour deux taux successifs, utilisez les coefficients multiplicateurs plutôt qu’une addition ou une soustraction directe. La calculette de pourcentage aide à déterminer la part correspondant à un taux donné, tandis que la calculette de remises successives applique plusieurs coefficients à la suite.
- Ne pas arrondir trop tôt si plusieurs étapes se succèdent.
- Conserver la même unité pour les valeurs comparées.
- Vérifier la base sur laquelle chaque pourcentage est calculé.
- Ne pas confondre pourcentage et points de pourcentage.
Exemples de calcul vérifiés
Baisse de 20 %, puis hausse de 20 %
Une valeur initiale de 100 unités est d’abord multipliée par 0,80, puis par 1,20. La valeur finale est de 96 unités : elle reste inférieure de 4 unités, soit 4 %, à la valeur de départ.
100 × (1-20 ÷ 100) × (1+20 ÷ 100) = 96
Taux nécessaire pour compenser une baisse de 20 %
Une valeur initiale de 250 unités devient 200 unités après une baisse de 20 %. Une hausse de 25 % sur ces 200 unités ajoute 50 unités et ramène la valeur à 250 unités.
250 × (1-20 ÷ 100) × (1+25 ÷ 100) = 250
Effet d’une baisse puis d’une hausse de même taux
| Étape | Coefficient | Part de la valeur initiale |
|---|---|---|
| Baisse de 20 % | 0,80 | 80 % |
| Hausse de 20 % après la baisse | 1,20 | 96 % |
| Variation globale | 0,80 × 1,20 | −4 % |
| Hausse nécessaire après la baisse | 1,25 | 100 % |
Les calculs utilisent des coefficients multiplicateurs et supposent des variations successives sans arrondi intermédiaire. Les valeurs monétaires ou autres montants sont des exemples illustratifs, pas des tarifs ni des données actuelles.
Questions fréquentes
Quel taux de hausse faut-il après une baisse de 30 % pour revenir à la valeur initiale ?
La valeur restante représente 70 % du départ. Le coefficient de rattrapage est donc 1 / 0,70, soit environ 1,4286. Il faut une hausse d’environ 42,86 % sur la valeur réduite.
Une hausse de 50 % puis une baisse de 50 % ramène-t-elle au montant initial ?
Non. Les coefficients sont 1,50 puis 0,50, soit un produit de 0,75. La valeur finale représente donc 75 % de la valeur initiale : la baisse globale est de 25 %.
Sources et références
- 6.1 Understand Percent — OpenStax, Rice University
- 5.6 Ratios and Rate — OpenStax, Rice University
- 6.5 Solve Proportions and their Applications — OpenStax, Rice University